Question

（2012•閔行區一模）已知函數f(x)=loga

1-x

1+x

(0＜a＜1)．
（1）求函數f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果當x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），求a與t的值；
（3）對任意的x₁，x₂∈D，是否存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接由真數大于0，解分式不等式可得函數的定義域，利用定義判斷函數的奇偶性；
（2）給出的函數是對數型的復合函數，經分析可知內層分式函數為減函數，外層對數函數也為減函數，要保證
當x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），首先應有（t，a）⊆（-1，1），且當x∈（t，a）時，

1-x

1+x

∈（a，+∞），結合內層函數圖象及單調性可得t=-1，且

1-a

1+a

=a，從而求出a和t的值；
（3）假設存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），代入對數式后把x₃用x₁，x₂表示，只要能夠證明x₃在定義域內即可，證明可用作差法或分析法．

解答：解：（1）要使原函數有意義，則

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
所以，函數f（x）的定義域D=（-1，1）
f（x）是定義域內的奇函數．
證明：對任意x∈D，有f(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga(

1-x

1+x

)=-f(x)
所以函數f（x）是奇函數．
另證：對任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga(

1-x

1+x

)=loga1=0
所以函數f（x）是奇函數．
（2）由

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

知，函數g(x)=

1-x

1+x

在（-1，1）上單調遞減，
因為0＜a＜1，所以f（x）在（-1，1）上是增函數  
又因為x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），所以（t，a）⊆（-1，1）
且g(x)=

1-x

1+x

在（t，a）的值域是（a，+∞），
故g(a)=

1-a

1+a

=a且t=-1（結合g（x）圖象易得t=-1）
由

1-a

1+a

=a得：a²+a=1-a，解得a=

2

-1或a=-

2

-1（舍去）．
所以a=

2

-1，t=-1
（3）假設存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）
即loga

1-x1

1+x1

+loga

1-x2

1+x2

=loga

1-x3

1+x3

則loga(

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

)=loga

1-x3

1+x3

⇒

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

=

1-x3

1+x3

，
解得x3=

x1+x2

1+x1x2

，
下面證明x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，即證：(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．
證明：法一、
由(

x1+x2

1+x1x2

)2-1=

(x1+x2)2-(1+x1x2)2

(1+x1x2)2

=

x 2 1 + x 2 2 -1- x 2 1 x 2 2

(1+x1x2)2

=-

(1- x 2 1 )(1- x 2 2 )

(1+x1x2)2

．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，(1+x1x2)2＞0，
∴

(1-x12)(1-x22)

(1+x1x2)2

＞0，即(

x1+x2

1+x1x2

)2-1＜0，∴(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．
所以存在x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
法二、
要證明(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1，即證(x1+x2)2＜(1+x1x2)2，也即(1-x12)(1-x22)＞0．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，∴(1-x12)(1-x22)＞0，
∴(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．
所以存在x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了復合函數的單調性，考查了復合函數的值域，體現了數學轉化思想方法，訓練了存在性問題的證明方法，該題綜合考查了函數的有關性質，屬有一定難度的題目．