Question

（本小題滿分13分）
已知函數，．
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）當，且時，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當時，由，得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減（Ⅲ）見解析

（Ⅰ）函數的定義域為，
．…………………………………………………………2分
又曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，
即．………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由于．
當時，對于，有在定義域上恒成立，
即在上是增函數．
當時，由，得．
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．……………………………8分
（Ⅲ）當時，  ．
令．
．………………………………10分
當時，，在單調遞減．
又，所以在恒為負．
所以當時，．
即．
故當，且時，成立．………………………………13分