【題目】已知橢圓
：
，動直線l與橢圓E交于不同的兩點
，
，且△AOB的面積為1，其中O為坐標原點.
（1）證明：
為定值；
（2）設線段AB的中點為M，求
的最大值.
【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為
.
【解析】
（1）當直線l的斜率不存在時，設l：x＝m，代入橢圓方程求解
，結合△AOB的面積為1求得m值，可得
為定值4，當直線l的斜率存在時，設
，聯立橢圓方程，可得A，B橫坐標的和與積，利用弦長公式求弦長，再由點到直線的距離公式求得
到直線
的距離，結合△AOB的面積為1，可得
，則的值可求，從而說明為定值；
（2）設
，當直線的斜率不存在時，
，
，則|
；當直線的斜率存在時，由（1）可得M的坐標，求得
，寫出
，結合轉化為關于
的二次函數求最值.
（1）當直線l的斜率不存在，設l：x＝m
代入橢圓方程，得
，即
由△AOB的面積為1，可得
，
解得：
，則
；
當直線l的斜率存在，設，
聯立
，
化簡整理可得
，
設
，
，
可得
，
，
，
由△AOB的面積為1，可得
，
化簡可得，
則
，
而
，
綜上可得，為定值4；
（2）設，
當直線的斜率不存在時，，
，則|；
當直線的斜率存在時，由（1）可得
，
，
則
，
可得
.
∵
，∴
.
可知
.
綜上，的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了更好地支持“中小型企業”的發展，某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免，某機構調查了當地的中小型企業年收入情況，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結論：
①樣本數據落在區間
的頻率為0.45；
②如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策，估計有55%的當地中小型企業能享受到減免稅政策；
③樣本的中位數為480萬元.
其中正確結論的個數為（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高三年級某班50名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區間為：
.其中a，b，c成等差數列且
.物理成績統計如表.（說明：數學滿分150分，物理滿分100分）
分組 |
|
|
|
|
|
頻數 | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
（1）根據頻率分布直方圖，請估計數學成績的平均分；
（2）根據物理成績統計表，請估計物理成績的中位數；
（3）若數學成績不低于140分的為“優”，物理成績不低于90分的為“優”，已知本班中至少有一個“優”同學總數為6人，從此6人中隨機抽取3人，記X為抽到兩個“優”的學生人數，求X的分布列和期望值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
是橢圓
的左右焦點，橢圓與
軸正半軸交于點
，直線
的斜率為
，且到直線的距離為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）
為橢圓上任意一點，過，分別作直線
，
，且與相交于
軸上方一點
，當
時，求，兩點間距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=lnx-a
．
(1)若a=-1，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；
(2)若f(x)
恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=ex（x+1）2，令f1（x）=f'（x），fn+1（x）=fn'（x），若fn（x）=ex（anx2+bnx+cn），記數列{
}的前n項和為Sn，則下列選項中與S2019的值最接近的是( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF
.
（1）求證：EF//平面ABCD；
（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，
為橢圓上一動點（異于左右頂點），
面積的最大值為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓相交于點
兩點，問
軸上是否存在點
，使得
是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的離心率
，左頂點為
，過點A作斜率為
的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P為
的中點，是否存在定點Q，對于任意的都有
？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由；
（3）若過點O作直線l的平行線交橢圓C于點M，求
的最小值.
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