Question

如圖，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四邊形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中點，E，F分別是PC，OD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）求二面角A-PF-E的正切值．

Answer 1

分析：（I）取BP中點G，連EG，由E為PC中點，由三角形的中位線定理，結合F為OD中點，易得EG與OF平行且相等，故四邊形OFEG為平行四邊形，進而EF∥GO，由線面平行的判定定理可得EF∥平面PBO；
（Ⅱ）連CO，OP，過E作EN⊥OP于N，過N作NH⊥PF于H，由二面角的定義，可得∠NHE為二面角A-PF-E的平面角，解三角形NHE，即可求出二面角A-PF-E的正切值．

解答：解（Ⅰ）證明：取BP中點G，連EG，由E為PC中點
故EG=

1

2

BC，且EG∥BC
又∵F為OD中點
∴OF=

1

2

BC=

1

2

OD，且OF∥BC∥OD
∴EG與OF平行且相等，故四邊形OFEG為平行四邊形
∴EF∥GO則EF∥面PBO
（Ⅱ）連CO，OP，則BA∥CO，又AB⊥AD，面ABCD⊥面APD
∴CO⊥面APD
故面COP⊥面APD
過E作EN⊥OP于N，則EN⊥面APD
過N作NH⊥PF于H，連EH，
則EH⊥PF，故∠NHE為二面角A-PF-E的平面角
由于E為PC中點，故EN=

1

2

CO=

1

2

AB=1
∵∠APD=90°，AD=4，PD=2
由O為AD的中點，故OD=2，又F為OD的中點，可知PF⊥AD
從而NH∥OD又N是DP的中點∴H為PF的中點
∴NH=

1

2

OF=

1

2

∴tan∠NHE=

NE

NH

=2
∴二面角A-PF-E平面角的正切值為2．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，其中（I）的關鍵是證得EF∥GO，（II）的關鍵是證得∠NHE為二面角A-PF-E的平面角．