Question

【題目】如圖，已知菱形ABEF所在的平面與△ABC所在的平面相互垂直，AB=4，BC= ，BC⊥BE，∠ABE= ．

（1）求證：BC⊥平面ABEF；
（2）求平面ACF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，在菱形ABEF中，取AB中點O，∵，∠ABE= ．∴EO⊥AB，

又∵平面ABEF⊥面ABC，平面ABEF∩面ABC=AB，EO面ABEF

∴．EO⊥面ABC，則EO⊥BC，又∵BC⊥BE，且BE∩EO=E

∴BC⊥平面ABEF

（2）

解：由（1）得EO⊥面ABC，BC⊥平面ABEF．

∴以O為原點，OB，OE所在直線為y、z軸建立如圖直角坐標系O﹣xyz．

則A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（ ，2，0），F（0，﹣4，2 ），E（0，0，2 ）．

設平面ACF的法向量為 ，

，

由 取 ．

設平面BCE的法向量為 ，

， ，

由 ，取 ．

，

∴平面ACF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）如圖，在菱形ABEF中，取AB中點O，可得EO⊥面ABC，EO⊥BC，BC⊥平面ABEF．（2）由（1）得EO⊥面ABC，BC⊥平面ABEF．以O為原點，OB，OE所在直線為y、z軸建立如圖直角坐標系O﹣xyz．則A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（ ，2，0），F（0，﹣4，2 ），E（0，0，2 ）．
求出平面ACF的法向量為 ，平面BCE的法向量為 ，利用向量法夾角公式即可求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．