Question

已知函數(shù)，且在時函數(shù)取得極值.
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若，
（Ⅰ）證明：當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）證明不等式恒成立.

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先利用函數(shù)在處取得極值，由求出的值，進而求出的解析式，解不等式，從而得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）（Ⅰ）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在區(qū)間上成立，從而說明當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的結(jié)論證明當時，，由此得到，，，，結(jié)合累加法得到，再進行放縮得到
，從而證明.
試題解析：（1），，函數(shù)的定義域為，
由于函數(shù)在處取得極值，則，
，
解不等式，得或，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；
（2）（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，其中，
，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則對任意，則，即，即，
即當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）先證當時，，由（Ⅰ）知，當且時，，
故有，
由于，，，，
上述個不等式相加得，即，
即，由于，
上述不等式兩邊同時乘以得.