Question

【題目】動點在拋物線上，過點作垂直于軸，垂足為，設.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點，過點的直線交軌跡于兩點，直線的斜率分別為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1

【解析】

（1）設Q（x，y），則P（x，2y），代入x2=2y得出軌跡方程；

（2）聯立直線AB方程與Q的軌跡方程，得出A，B的坐標關系，代入斜率公式化簡|k1﹣k2|，利用二次函數的性質求出最小值．

（Ⅰ）設點，則由得，因為點在拋物線上，

（Ⅱ）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設點，

聯立得

由韋達定理得

（1）當直線經過點即或時，當時，直線的斜率看作拋物線在點處的切線斜率，則，此時；當時，同理可得

（2）當直線不經過點即且時，，

所以的最小值為.

方法二：同上

故，所以的最小值為

方法三：設點，由直線過點交軌跡于兩點得： 化簡整理得：

，令，則