Question

（本小題滿分12分）

已知函數，且。

   （I）試用含的代數式表示；

   （Ⅱ）求的單調區間；

   （Ⅲ）令，設函數在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點。

Answer 1

（I）

（Ⅱ）當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為；

當時，函數的單調增區間為R；

當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為。

（Ⅲ）證明見解析。

解析:

解法一：

（I）依題意，得

     由得

（Ⅱ）由（I）得

      故

      令，則或

      ①當時，

      當變化時，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調遞增	單調遞減	單調遞增

由此得，函數的單調增區間為和，單調減區間為

②由時，，此時，恒成立，且僅在處，故函數的單調區間為R

③當時，，同理可得函數的單調增區間為和，單調減區間為

綜上：

當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為；

當時，函數的單調增區間為R；

當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為

（Ⅲ）當時，得

     由，得

     由（Ⅱ）得的單調增區間為和，單調減區間為

     所以函數在處取得極值。

     故

     所以直線的方程為

     由得

     令

     易得，而的圖像在內是一條連續不斷的曲線，

     故在內存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點

解法二：

（I）同解法一

（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）當時，得，由，得

由（Ⅱ）得的單調增區間為和，單調減區間為，所以函數在處取得極值，

故

所以直線的方程為

由得

解得

所以線段與曲線有異于的公共點。