Question

【題目】將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象.

（1）寫出函數的解析式；

（2）若對任意 ， 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求實數和正整數，使得在上恰有個零點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用三角函數的圖象變換，即可求得函數的解析式；

（2）令，則恒成立，再根據二次函數的圖象與性質，即可求解；

（3）由題意可得的圖象與在上有2019個交點，分類討論，即可求得和的值.

（1）把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得到函數的圖象，再向左平移個單位長度后得到函數的圖象，

故函數的解析式為.

（2）若對于任意，則，所以，

又由恒成立，

令，則恒成立，

則，解得.

（3）因為在上恰有個零點，

故函數的圖象與在上有2019個交點，

當時，，

①當或時，函數的圖象與在上無交點；

②當或時，函數的圖象與在上僅有一個交點，

此時要使得函數的圖象與在上有2019個交點，則；

③當或時，函數的圖象與在上2個交點，

此時要使得函數的圖象與在上的交點個數，不能是2019個；

④當時，函數的圖象與在上3個交點，

此時要使得函數的圖象與在上有2019個交點，則；

綜上可得，當或時，；當時，.