Question

已知函數f（x）=x|x-a|（x∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）求實數a的取值范圍，使函數g（x）=f（x）+2x+1在R上恒為增函數．

Answer 1

（1）當a=0時，f（x）=x|x|，定義域為R，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函數．…（3分）
當a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函數．…（6分）
∴當a=0時，f（x）為奇函數；當a≠0時，f（x）為非奇非偶函數．…（7分）
（2）g(x)=x|x-a|+2x+1=

x2+(2-a)x+1，x≥a -x2+(2+a)x+1，x＜a

在R上恒為增函數，…（8分）
∴y=x²+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函數，且y=-x²+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函數，…（10分）
∴

- 2-a 2 ≤a 2+a 2 ≥a

，…（14分）
∴-2≤a≤2．…（15分）