Question

7、已知空間四點A、B、C、D和兩平面M、N，又知A、B、C、D在M內的射影A₁B₁C₁D₁是一條直線，在N內的射影A₂B₂C₂D₂是一個平行四邊形，求證ABCD是一個平行四邊形．

Answer 1

分析：利用兩個平面垂直的性質：若兩個平面垂直，通過一個平面中的一點垂直于另一個平面的直線在第一個平面內；證出四點共面；通過反證法證出四邊形的兩條對邊不能相交即兩對邊平行，命題得證．

解答：證明：（1）先證A、B、C、D四點共面
設通過直線A₁B₁C₁D₁而垂直于平面M的平面為P
則因AA₁⊥平面M，而A₁又在直線A₁B₁C₁D₁上，
所以點A在平面P內，同理點B、C、D均在平面P內，
即A、B、C、D四點共面
（2）證ABCD是一個平行四邊形
若AB與DC相交于E，
則其在平面N內的射影A₂B₂與D₂C₂也相交于E₂，
此與A₂B₂∥D₂C₂的假設相違，所以AB∥DC，同理AD∥BC
故ABCD是一個平行四邊形．

點評：本題考查兩平面垂直的性質：若兩個平面垂直，通過一個平面中的一點垂直于另一個平面的直線在第一個平面內、反證法在證題中的應用．