Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．

（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．

【解析】

（Ⅰ）由題知，如圖以點為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，計算，證明，從而平面PAC，即可得證；

（Ⅱ）求解平面PDE的一個法向量，計算，即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求解平面PBE的一個法向量，計算，即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

（Ⅰ）PC⊥底面ABCD，，

如圖以點為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，

，，

，又，平面PAC，

平面PDE，平面PDE⊥平面PAC；

（Ⅱ）設為平面PDE的一個法向量，

又，

則，取，得

，

直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）設為平面PBE的一個法向量，

又

則，取，得，

，

二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.