Question

點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方，
（I）求橢圓C的方程；
（II）求點P的坐標；
（III）設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值．

Answer 1

解（I）已知雙曲線實半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，
∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸b₂=，
∴所求的橢圓方程為
（II）由已知A（-6，0），F（4，0），
設點P的坐標為（x，y），則，由已知得
則2x²+9x-18=0，解之得，
由于y＞0，所以只能取，于是，所以點P的坐標為（9分）
（Ⅲ）直線，設點M是（m，0），則點M到直線AP的距離是，于是，
又∵點M在橢圓的長軸上，即-6≤m≤6∴m=2
∴當m=2時，橢圓上的點到M（2，0）的距離
又-6≤x≤6∴當時，d取最小值
分析：（I）求出雙曲線的焦點、頂點，得出橢圓的a，c，b即可求出橢圓標準方程．
（Ⅱ）點P的坐標為（x，y），由已知得解方程組可得點P的坐標
（Ⅲ）設點M是（m，0）于是，解出m=2，建立橢圓上的點到M的距離d的表達式，用函數知識求最值
點評：本題考查圓錐曲線的幾何性質、標準方程、距離求解．考查函數知識、方程思想、計算能力．