Question

已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，.
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）設(shè)第個正方形的邊長為，求前個正方形的面積之和.
（注：表示與的最小值.）

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式分別求出數(shù)列與的通項公式；（2）先利用作差法確定與的大小，在比較兩者的大小是，一是利用數(shù)學(xué)歸納法，方法二是利用二項式定理，確定數(shù)列的通項公式（用分段數(shù)列的形式來進(jìn)行表示，然后對的取值進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出.
試題解析：（1）由于數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，
又因為數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此；
2）因為，，，，，，
，，，，，，
易知當(dāng)時，，
下面證明當(dāng)時，不等式成立.
方法1：（i）當(dāng)時，，不等式顯然成立，
（ii）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，
則有，
這說明當(dāng)時，不等式也成立，
綜合（i）（ii）可知，不等式對的所有整數(shù)都成立.
所以當(dāng)時，；
方法2：因為當(dāng)時，

，
所以當(dāng)時，，所以，
則，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，




.
綜上可知，.