Question

【題目】已知函數．

（1）當時，直線與相切，求的值；

（2）若函數在內有且只有一個零點，求此時函數的單調區間；

（3）當時，若函數在上的最大值和最小值的和為1，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）單調遞增區間為，,單調遞減區間為； （3）.

【解析】

（1）由求出切點坐標，代入切線方程即可得結果；（2）先證明當時不合題意，當時，根據單調性可得，要使函數在內有且只有一個零點，則須，求得，進而可得結果；（3）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，極大值為，極小值為，且,，分類討論求出最大值與最小值，解方程即可得結果.

.

（1）,

則,所以，，

當，所以，解得.

（2），

由，得到，，

當時，在區間上恒成立，

即函數在區間上單調遞增，

又因為函數的圖象過點，即，

所以函數在內沒有零點，不合題意，

當時，由得，即函數在區間上單調遞增，

由得，即函數在區間在上單調遞減，

且過點，要使函數在內有且只有一個零點，則須，

即，解得，

綜上可得函數在內有且只有一個零點時，

此時函數的單調遞增區間為，,單調遞減區間為.

（3）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

此時函數有兩個極值點，極大值為，極小值為，

且,.

①當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，，

又即

所以，解得（舍）.

②當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，

在上單調遞增 即，所以.

若，即時，，所以，

解得（舍）.

若，即時，，所以，

解得.

綜上，.