Question

【題目】已知函數(shù)，其中a >2.

（I）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（II）若對于任意的，恒有，求a的取值范圍.

（III）設(shè)，，求證：.

Answer 1

【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(1，a-1).(2)(2,5];(3)見解析.

【解析】分析：（I）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；；（II）對任意的，恒有，等價于，令，即函數(shù)在上為增函數(shù)，，∴恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求實數(shù)的取值范圍；（III） 由（I）可知當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)， ，由（II）知，即可證明結(jié)論.

詳解：（I）函數(shù)f(x)的定義域為

令，則，即

解得或 ∵ ∴

由，解得0<x<1或x>a-1，

由，解得1<x<a-1

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(1，a-1).

（II）設(shè)，則不等式等價于·

整理得，

令

∴函數(shù)g(x)在x∈(0，+∞)上為增函數(shù).

∵，∴恒成立

而

∴ ∵a>2 ∴

∴，即a的取值范圍是（2，5].

（III）∵ 由（I）可知當(dāng)時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，

而

那么 ∴

由（II）知

∴

即.