Question

已知定義在（0，+∞）上的函數f（x）同時滿足如下三個條件：①對于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）計算f（9），的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上為減函數；
（3）有集合A={（x₀，y₀）|f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0，x₀，y₀∈（0，+∞）}，．問：是否存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B．

Answer 1

解：（1）∵對于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（）=-1，∴f（）=-
（2）設任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且=t （t＞1）
則f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵當x＞1時，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數
（3）依題意可得f（1）=0，f（）=1，f（）=2
f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0?f（x₀²+1）＞f（5y₀）+2=f（5y₀）+f（）=f（y₀）?x₀²+1＜y₀）①
??f（）=f（1）?=1②
將②代入①得27x₀²-5x₀+27＜0
此不等式無解
故不存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B
分析：（1）利用x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=3，y=3，代入可得f（9），令x=，y=，代入可得f（）；
（2）利用函數單調性的定義，設任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，通過作差，證明f（x）＞f（y）即可證明f（x）在（0，+∞）上為減函數
（3）先利用已知計算f（1）=0，f（）=1，f（）=2，再利用f（xy）=f（x）+f（y）和函數單調性，將不等式f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0等價轉化為x₀²+1＜y₀），將方程轉化為=1，二者聯立判斷不等式是否有正解即可
點評：本題考察了抽象函數表達式的運用，函數單調性的定義運用，及二者的綜合應用，解題時要運用轉化化歸的思想方法，善于將抽象問題具體化．