Question

四個紀念幣A、B、C、D，投擲時正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

將這四個紀念幣同時投擲一次，設ξ表示正面向上的紀念幣的個數．
（Ⅰ）求ξ的取值及相應的概率；
（Ⅱ）求在概率p（ξ）中，p（ξ=2）為最大時，實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意知ξ可能取值為0，1，2，3，4．根據所給的四個紀念幣投擲時正面向上的概率，根據這四個紀念幣是否向上是相互獨立的，結合變量對應的事件寫出變量對應的概率．
（II）根據a是概率，得到a的范圍，根據a的范圍比較出兩個概率之間的大小關系，p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3），要求p（ξ=2）為最大時a的值，只要比較與ξ=3，ξ=2與ξ=1的大小，解不等式組得到結果．

解答：解：（I）ξ可能取值為0，1，2，3，4．
其中p（ξ=0）=C₂⁰（1-

1

2

）²C₂⁰（1-a）2=

1

4

（1-a）²
p（ξ=1）=C₂¹

1

2

（1-

1

2

）C₂⁰（1-a）²+C₂⁰（1-

1

2

）²•C₂¹a（1-a）=

1

2

（1-a）
p（ξ=2）=C₂²（

1

2

）²C₂⁰（1-a）²+C₂¹

1

2

（1-

1

2

）C₂¹a（1-a）+C₂⁰（1-

1

2

）²•C₂²a ²=

1

4

（1+2a-2a ²）
p（ξ=3）=C₂²（

1

2

）²C₂¹a（1-a）+C₂¹

1

2

（1-

1

2

）C₂²a ²=

a

2

p（ξ=4）=C₂²（

1

2

）²C₂²a ²=

1

4

a ²
（II）∵0＜a＜1，
∴p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3）
又p（ξ=2）-p（ξ=1）=

1

4

（1+2a-2a²）-

1-a

2

=-

2a2-4a+1

4

≥0

1

4

（1+2a-2a ²）-

a

2

≥0
∴

2- 2

2

≤a≤

2+ 2

2

，-

2

2

≤a≤

2

2

解得a∈[

2- 2

2

，

2

2

]

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，考查分布列中概率的性質，考查不等式組的解法，是一個綜合題，解本題的關鍵是根據a的范圍，看出五個概率之間的大小關系．