Question

【題目】如圖所示，在四棱錐A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，F為AC的中點，AB=BC=2，BE= ．

（Ⅰ）證明：EF⊥BD；
（Ⅱ）在線段AE上是否存在一點G，使得二面角D﹣BG﹣E的大小為 ？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BC的中點M，連接MF，ME，

∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB，

∴MF⊥平面BCDE，又BD平面BCDE，∴MF⊥BD．

在Rt△MBE與Rt△BED中，

∵ = = ，∴Rt△MBE∽Rt△BED．

∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，

于是∠BEM+∠EBD=90°，∴ME⊥BD，

又∵MF∩ME=M，∴BD⊥平面MEF，

又∵EF平面MEF，∴EF⊥BD．

解：（Ⅱ）∵AB⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，

∴以B為原點，分別以 、 、 的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，

設AG=λAE，依題意可得B（0，0，0），C（2，0，0），

D（2， ，0），A（0，0，2），E（0， ，0），F（1，0，1），

∴ = + = +λ =（0， λ，2﹣2λ）， =（2， ，0），

設平面BGD的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取x=1，則 =（1，﹣ ， ），

平面BGE的法向量為 =（1，0，0），

∵二面角D﹣BG﹣E的大小為 ，

∴|cos＜ ， ＞|= = = ，解得λ= ．

∴存在一點G，且 = 時，二面角D﹣BG﹣E的大小為 ．

【解析】（Ⅰ）求兩條異面直線互相垂直，可以求得一直線垂直于另一直線所在平面，進而證明兩條異面直線互相垂直；（Ⅱ）根據題意建立合適的空間直角坐標系，令二面角D﹣BG﹣E的大小為，求得此時點G的位置，即可解題 .
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．