Question

（本小題滿分12分）

已知函數f（x）=，其中a>0.

（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（Ⅱ）若在區間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【解析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數研究函數的單調性與極值、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分12分.

（Ⅰ）解：當a=1時，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.

（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.

以下分兩種情況討論：

若，當x變化時，f’(x)，f（x）的變化情況如下表：

X		0
f’(x)	+	0	-
f(x)		極大值

     當等價于

     解不等式組得-5<a<5.因此.

若a>2，則.當x變化時，f’(x),f（x）的變化情況如下表：

X		0
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)		極大值		極小值

當時，f（x）>0等價于即

解不等式組得或.因此2<a<5.

綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.