Question

【題目】已知函數．

（1）若函數的值域為[0，+∞），求實數a的取值范圍；

（2）若關于x的不等式F（x）＞af（x）+12恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（-∞，）.

【解析】

（1）換元令f（x）＝t后，求出g（x）的值域后，與已知值域比較得：8﹣2a＝0，得a＝4；

（2）換元令f（x）＝t后，轉化為關于t的不等式在[4，+∞）上恒成立．

解：（1）令. 由對勾函數的性質可知：y=t+在[4，+∞）上遞增，

∴g（x）==≥=

依題意：8-2a=0，∴a=4

（2）令f（x）=t，

則不等式轉化為：t2-2at+16＞at+12，即3a＜t+，對任意t∈[4，+∞）恒成立，

由對勾函數的性質可知：y=t+在[4，+∞）上遞增，所以t=4時，y取最小值8，

所以3a＜8，∴a

所以實數a的實數的取值范圍為（-∞，）