【題目】如圖所示，已知三棱柱
中， 
， 
， 
．
（1）求證： 
；
（2）若
， 
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)見解析；（2）
.
【解析】試題分析: （1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需要結合平幾知識，如利用等腰三角形性質得底邊上中線垂直底面得線線垂直，（2）一般利用空間向量數量積求二面角大小，先根據條件確定恰當空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角余弦值，最后根據法向量夾角與二面角關系確定二面角的余弦值.
試題解析:（1）∵四邊形
為平行四邊形，且
， 
，
∴
為等邊三角形，
取
中點
，連接
， 
，則
，
∵
，∴
，
∵
， 
平面
， 
平面
，
∴
平面
，∴
．
（2）∵
為等邊三角形， 
，∴
，
∵在
中， 
， 
， 
為
中點，
∴
，
∵
， 
，∴
，
∴
，
又
，
∴
平面
．
以
為原點， 
， 
， 
方向為
， 
， 
軸的正向，建立如圖所示的坐標系， 
， 
， 
， 
，
則
，則
， 
， 
，
則平面
的一個法向量
，
設
為平面
的法向量，則
令
，∴
，
∴
，
∴
．
點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.
(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.
期末1卷素質教育評估卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】心理學家分析發現“喜歡空間想象”與“性別”有關，某數學興趣小組為了驗證此結論，從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男生30人、女生20人），給每位同學立體幾何題、代數題各一道，讓各位同學自由選擇一道題進行解答，選題情況統計如下表：（單位：人）
立體幾何題 | 代數題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否有97.5%以上的把握認為“喜歡空間想象”與“性別”有關？
（2）經統計得，選擇做立體幾何題的學生正答率為
，且答對的學生中男生人數是女生人數的5倍，現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行研究，記抽取的兩人中答對的人數為
，求的分布列及數學期望．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了參加師大附中第30界田徑運動會的開幕式，高三年級某6個班聯合到集市購買了6根竹竿，作為班旗的旗桿之用，它們的長度分別為3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1(單位：米).
（Ⅰ）若從中隨機抽取兩根竹竿，求長度之差不超過0.5米的概率；
（Ⅱ）若長度不小于4米的竹竿價格為每根10元，長度小于4米的竹竿價格為每根
元.從這6根竹竿中隨機抽取兩根，若期望這兩根竹竿的價格之和為18元，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知隨機變量
的取值為不大于
的非負整數值，它的分布列為：
| 0 | 1 | 2 |
| n |
|
|
|
|
|
|
其中
（
）滿足： 
，且
．
定義由
生成的函數
，令
．
（I）若由
生成的函數
，求
的值；
（II）求證：隨機變量
的數學期望
， 
的方差
；
（
）
（Ⅲ）現投擲一枚骰子兩次，隨機變量
表示兩次擲出的點數之和，此時由
生成的函數記為
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機對50名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在30名男性駕駛員中，平均車速超過
的有20人，不超過的有10人.在20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.
（Ⅰ）完成下面的列聯表，并判斷是否有
的把握認為平均車速超過的人與性別有關；
平均車數超過
| 平均車速不超過
| 合計 | |
男性駕駛員人數 | |||
女性駕駛員人數 | |||
合計 |
（Ⅱ）以上述數據樣本來估計總體，現從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數為
，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數學期望
參考公式：
，其中
.
參考數據：
| 0.150 | 0．100 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班從6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任選3人參加學校的義務勞動．
（1）設所選3人中女生人數為ξ，求ξ的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被選中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分） 某中學的環保社團參照國家環境標準制定了該校所在區域空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表（假設該區域空氣質量指數不會超過
）：
空氣質量指數 |
|
|
|
|
|
|
空氣質量等級 |
|
|
|
|
|
|
該社團將該校區在
年
天的空氣質量指數監測數據作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計為概率．
（Ⅰ）請估算
年（以
天計算）全年空氣質量優良的天數(未滿一天按一天計算)；
（Ⅱ）該校
年
月
、
日將作為高考考場，若這兩天中某天出現
級重度污染，需要凈化空氣費用
元，出現
級嚴重污染，需要凈化空氣費用
元，記這兩天凈化空氣總費用為
元，求
的分布列及數學期望．
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