Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=PC=2,AB=PA=PB=2.

(1)證明：PC⊥平面ABC；

（2）若點(diǎn)D在棱AC上，且二面角D-PB-C為30°，求PD與平面PAB所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）易證得，，從而得證；

（2）易知，，兩兩垂直，從而可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過(guò)計(jì)算平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的余弦值建立方程可得，再空間向量計(jì)算線面角的正弦值即可.

（1）證明：，，

則，，

所以，，

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面．

（2）解：，則，即，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

，，

設(shè)，

則 ，，，

平面的法向量 ，

設(shè)平面的法向量，

則令，可得．

，解得，

則，平面的法向量，

設(shè)與平面的所成角為，則，

所以所求角的正弦值為.