Question

已知：三個定點，動P點滿足，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）直線3x-3my-2=0截動點P的軌跡所得弦長為2，求m的值；
（3）是否存在常數λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得：，所以動點P的軌跡是A、B為焦點的雙曲線的右支，由此能求出動點P的軌跡方程．
（2）法一：若m=0，則x=．此時y=±1，即弦長為2，滿足題意．若m≠0，由，得，由此能推導出m=0．
法二：設直線3x-3my-2=0與動點P的軌跡相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），直線3x-3my-2=0恒過雙曲線的焦點B，由雙曲線定義知|Q₁Q₂|=e（）=2（）=2，由此能求出m=0．
（3）當x=時，|BP|=1，|BC|=1，此時∠PCB=45°，∠PBC=90°，猜想λ=2．當x≠時，設P（x，y），則，且tan∠PCB=，由此能夠推導出存在λ=2，使得∠PBC=λ∠PCB．
解答：解：（1）∵三個定點，動P點滿足，
∴，
∴動點P的軌跡是A、B為焦點的雙曲線的右支…（1分）
設它的方程為，（x＞a），
則，解得：，
故所求方程為=1．（x＞0）．…（4分）
（2）解法一：若m=0，則x=．
此時y=±1，即弦長為2，滿足題意．…（5分）
若m≠0，由，消去y，得，
化簡得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，


解得m=0，或m=±1．
∵m=±1時，x₁x₂＜0不滿足．
∴m=0…（7分）
解法二：設直線3x-3my-2=0與動點P的軌跡相交于Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直線3x-3my-2=0恒過雙曲線的焦點B
∴由雙曲線定義知|Q₁Q₂|=e（）=2（）=2．
∴
若m=0，則，此時x₁+x₂=滿足．…（5分）
若m≠0，由，消去y得，
化簡得：．
解得m=0與m≠0矛盾．∴m=0…（7分）
（直接由圖形得出m=0時，|Q₁Q₂|=2，得2分）
（3）當x=時，|BP|=1，|BC|=1，
此時∠PCB=45°，∠PBC=90°．
猜想λ=2…（8分）
當x≠時，設P（x，y），則，
且tan∠PCB=，
∴，
而，
∴tan2∠PCB=tan∠PBC，
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π，
∴2∠PCB=∠PBC，
即存在λ=2，
使得：∠PBC=λ∠PCB．…（10分）
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查實數值的求法，探索滿足條件的實數的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．