Question

【題目】函數f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③ ．
（1）求證：f（x）在R上是單調增函數；
（2）若f（4x+a2x+1﹣a2+2）≥1對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令x= ，y=3得f（1）=[f（ ）]3，∵ ．∴所以f（1）＞1．

令x=1，則f（xy）=f（y）=[f（1）]y，

即f（x）=[f（1）]x，為底數大于1的指數函數，

所以函數f（x）在R上單調遞增

（2）解：f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，對任意x∈R，有f（x）＞0，

故f（0）=1，

f（4x+a2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a2x+1﹣a2+2）≥f（0），

由（1）有f（x）在R上是單調增函數，即：4x+a2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立

令2x=t，t＞0則t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．

i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；

ii） 得 ．

綜上可知

【解析】（1）利用賦值法求f（1），然后根據指數函數的性質確定函數的單調性．（2）利用函數的單調性將不等式轉化為4x+a2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指數不等式的性質求a的取值范圍．