Question

【題目】已知集合A={x|（x+2m）（x﹣m+4）＜0}，其中m∈R，集合B={x| ＞0}．
（1）若BA，求實數m的取值范圍；
（2）若A∩B=，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：集合 ，

方法一：（1）當A=時， ，不符合題意．

（ 2 ）當A≠時， ．

①當﹣2m＜m﹣4，即 時，A={x|﹣2m＜x＜m﹣4}，

又因為BA

所以 ，即 ，所以m≥5；

②當﹣2m＞m﹣4，即 時，A={x|m﹣4＜x＜﹣2m}

又因為BA

所以 ，即 ，所以 ．

綜上所述：實數m的取值范圍為：m≥5或 ．

方法二：因為BA，所以對于x∈B={x|﹣2＜x＜1}，（x+2m）（x﹣m+4）＜0恒成立．

令f（x）=（x+2m）（x﹣m+4）則

得 ，

所以實數m的取值范圍為：m≥5或

（2）解：方法一：（1）當A=時， ，符合題意．

（ 2 ）當A≠時， ．

①當﹣2m＜m﹣4，即 時，A={x|﹣2m＜x＜m﹣4}

又因為A∩B=

所以﹣2m≥1或者 m﹣4≤﹣2，

即 或者m≤2，

所以 ；

②當﹣2m＞m﹣4，即 時，A={x|m﹣4＜x＜﹣2m}

又因為A∩B=

所以m﹣4≥1或者﹣2m≤﹣2，

即m≥5或者m≥1，

所以

綜上所述：實數m的取值范圍為：1≤m≤2．

方法（二）令f（x）=（x+2m）（x﹣m+4）

由A∩B=得

① 即 ，所以m∈，

② 即 ，所以1≤m≤2，

綜上所述：實數m的取值范圍為：1≤m≤2

【解析】（1）化簡集合B，方法一、討論A為空集和不為空集，由集合的包含關系可得m的不等式組，解不等式即可；

方法二、因為BA，所以對于x∈B={x|﹣2＜x＜1}，（x+2m）（x﹣m+4）＜0恒成立．可得m的不等式組，解不等式即可；（2）方法一、討論A為空集和不為空集，結合交集的定義，即可得到所求范圍；

方法二、令f（x）=（x+2m）（x﹣m+4），結合交集的定義，可得m的不等式組，解不等式即可得到所求范圍．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解集合的交集運算的相關知識，掌握交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立．