Question

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若，求直線(xiàn)PQ的方程；
（3）設(shè)（λ＞1），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線(xiàn)l的直線(xiàn)與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可設(shè)橢圓的方程為，列出關(guān)于a，b的方程組，解出a，b值，從而求得橢圓的方程及離心率；（2）由（1）可得A（3，0）．設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=k（x-3）．將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直條件即可求得k值，從而解決問(wèn)題．
（2）先得出向量的坐標(biāo)．由已知得方程組解得x₂，最后經(jīng)計(jì)算得出即可．
解答：（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為．
由已知得
解得
所以橢圓的方程為，離心率．
（2）解：由（1）可得A（3，0）．
設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=k（x-3）．由方程組
得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依題意△=12（2-3k²）＞0，得．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，①
．②
由直線(xiàn)PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]．③
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0．④
由①②③④得5k²=1，從而．
所以直線(xiàn)PQ的方程為或
（3）證明：．
由已知得方程組
注意λ＞1，解得
因F（2，0），M（x₁，-y₁），故=．
而，所以．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線(xiàn)方程，平面向量的計(jì)算，曲線(xiàn)和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．