Question

【題目】已知數列{an}中，a1=2，a2=4，設Sn為數列{an}的前n項和，對于任意的n＞1，n∈N* ， Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn= ，求{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于任意的n＞1，n∈N*，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1），Sn+2+Sn=2（Sn+1+1），

相減可得：an+2+an=2an+1．（*）

又n=2時，S3+S1=2（S2+1），即2a1+a2+a3=2（a1+a2+1），a1=2，a2=4，解得a3=6．

∴n=1時（*）也滿足．

∴數列{an}是等差數列，公差為2，

∴an=2+2（n﹣1）=2n

（2）解：bn= = = ，

∴{bn}的前n項和Tn= +…+ ，

= + +…+ + ，

可得： = +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴Tn= ﹣

【解析】（1）利用數列遞推關系、等差數列的通項公式即可得出．（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．