Question

【題目】數學研究性學習是高中學生數學學習的一個有機組成部分，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決數學的和現實的問題的一種有意義的主動學習，是以學生動手動腦主動探索實踐和相互交流為主要學習方式的學習研究活動．某同學就在一次數學研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數．

①；

②；

③；

④；

⑤．

（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

（2）根據（1）的計算結果，歸納出一個三角恒等式；

（3）利用所學知識證明這個結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

(1）選擇（2）求常數相對容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函數平方關系結合特殊角三角函數值求得答案．

（2）根據（1）的計算結果，可得三角恒等式為：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）.

（3）根據兩角差的余弦公式，展開化簡后可得答案．

（1）由②得sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°＝1sin 30°＝1

（2）三角恒為等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α），；

（3）證明如下：

sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）

＝sin2α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）2﹣sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）

＝sin2αcos2αsin αcos αsin2αsin αcos αsin2α

sin2αcos2α.