Question

函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．對任意非零實數a，b，c，m，n，p，關于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是

1. A.
   {1，2}
2. B.
   {1，4}
3. C.
   {1，2，3，4}
4. D.
   {1，4，16，64}

Answer 1

D
分析：根據函數f（x）的對稱性，因為m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解應滿足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，進而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，應關于對稱軸x=對稱，對于D中4個數無論如何組合都找不到滿足條件的對稱軸，故解集不可能是D．
解答：∵f（x）=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=
設方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解為y₁，y₂
則必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c
那么從圖象上看，y=y₁，y=y₂是一條平行于x軸的直線
它們與f（x）有交點
由于對稱性，則方程y₁=ax²+bx+c的兩個解x₁，x₂要關于直線x=稱
也就是說2（x₁+x₂）=
同理方程y₂=ax²+bx+c的兩個解x₃，x₄也要關于直線x=對稱
那就得到2（x₃+x₄）=
在C中，可以找到對稱軸直線x=2.5，
也就是1，4為一個方程的解，2，3為一個方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}，中間兩個數4，16的對稱軸為10，而最大值和最小值1，64的對稱軸為，
即函數的圖象不是軸對稱圖形，
故選D．
點評：本題主要考查二次函數的性質--對稱性，二次函數在高中已經作為一個工具來解決有關問題，在解決不等式、求最值時用途很大．