Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）
（1）若數列{a_n+c}成等比數列，求常數c值；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n
（3）數列{a_n}中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式可得a_n=s_n-s_n-1，利用等比數列的定義可求c
（2）由遞推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求解
（3）假設存在a_s，a_p，a_r成等差數列，則2a_p=a_s+a_r，結合（2）中的通項公式進行推理．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-3_n及S_n+1=2a_n+1-3（n+1）得a_n+1=2a_n+3
∴

an+1+3

an+3

=2，∴c=3

（2）∵a₁=S₁=2a₁-3，?∴a₁=3，a_n+3=（a₁+3）•2^n-1∴a_n=3.2ⁿ-3（n∈N^*）
（3）設存在S，P，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列∴2a_p=a_s+a_r
即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3）∴2^p+1=2^s+2^r??
∴2^p-s+1=1+2^r-s∵s，p，r∈N^*?且s＜p＜r
∴2^p-s+1、2^r-s為偶數
1+2^r-s為奇數矛盾，不存在滿足條件的三項

點評：本題主要考查了數列的遞推關系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁的應用及等比數列的定義，而對存在性問題，一般是先假設存在，然后由假設結合已知條件進行推理，看是否產生矛盾，從而判斷存在性．