Question

（2011•江西模擬）已知函數f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數g（x）在區間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實數a，對任意給定的x₀∈（0，e]，在區間[1，e]上都存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）給出如下定義：對于函數y=F（x）圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果對于函數y=F（x）圖象上的點M（x₀，y₀）（其中x0=

x1+x2

2

)總能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，則稱函數具備性質“L”，試判斷函數f（x）是不是具備性質“L”，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導函數g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x），從而可知函數在區間（0，1]上單調遞增，在區間[1，e）上單調遞減，因此可求函數的值域．
（2）令m=g（x），則由（1）可得m∈（0，1]，原問題等價于：對任意的m∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上總有兩個不同的實根，故f（x）在[1，e]不可能是單調函數，從而可得a∈(

1

e

，1)，又f(x)min=f(

1

a

)=2+lna≤0可得a≤

1

e2

，矛盾，因此滿足條件的a不存在
（3）設函數f（x）具備性質“L”，即在點M處地切線斜率等于k_AB，不妨設0＜x₁＜x₂，易得

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

即ln

x1

x2

=

2(x1-x2)

x1+x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

∈(0，1)，則有lnt+

4

t+1

-2=0，令F（t）=lnt+

4

t+1

-2，則由F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)

＞0可得F（t）在（0，1）上單調遞增，故F（t）＜F（1）=0，從而方程lnt+

4

t+1

-2=0無解，故可得證．

解答：解：（1）∵g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x）在區間（0，1]上單調遞增，在區間[1，e）上單調遞減，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e函數g（x）在區間（0，e]上的值域為（0，1]…．（3分）
（2）令m=g（x），則由（1）可得m∈（0，1]，原問題等價于：對任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上總有兩個不同的實根，故f（x）在[1，e]不可能是單調函數                              …（5分）∵f′(x)=a-

1

x

(1≤x≤e)
當a≤0時，f′(x)=a-

1

x

＜0，在區間[1，e]上遞減，不合題意
當a≥1時，f'（x）＞0，在區間[1，e]上單調遞增，不合題意
當0＜a≤

1

e

時，f'（x）＜0，在區間[1，e]上單調遞減，不合題意
當1＜

1

a

＜e即

1

e

＜a＜1時，在區間[1，

1

a

]上單調遞減；在區間[

1

a

，e]上單遞增，
由上可得a∈(

1

e

，1)，此時必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由f(x)min=f(

1

a

)=2+lna≤0可得a≤

1

e2

，則a∈Φ
綜上，滿足條件的a不存在．…..（8分）
（3）設函數f（x）具備性質“L”，即在點M處地切線斜率等于k_AB，不妨設0＜x₁＜x₂，則kAB=

y1-y2

x1-x2

=

a(x1-x2)-(lnx1-lnx2)

x1-x2

=a-

lnx1-lnx2

x1-x2

，而f（x）在點M處的切線斜率為f′(x0)=f′(

x1+x2

2

)=a-

2

x1+x2

，故有

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

…..（10分）
即ln

x1

x2

=

2(x1-x2)

x1+x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

∈(0，1)，則上式化為lnt+

4

t+1

-2=0，
令F（t）=lnt+

4

t+1

-2，則由F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)

＞0可得F（t）在（0，1）上單調遞增，故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+

4

t+1

-2=0無解，所以函數f（x）不具備性質“L”．…（14分）

點評：此題是個難題．考查利用導數研究函數的單調性，和求函數的最值問題，體現了分類討論和數形結合以及題意的理解與轉化的思想．特別是問題（2）的設置，考查了學生創造性分析解決問題的能力．