Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明略； （2）

【解析】

（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法和恒成立問(wèn)題求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

證明：（1）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，①

當(dāng)n=1時(shí)，，

則：當(dāng)n≥2時(shí)，，②

①﹣②得：an=2an﹣2an﹣1﹣+，

整理得：，

所以：，

故：（常數(shù)），

故：數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

故：，

所以：．

由于：，

所以：（常數(shù)）．

故：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．

（2）由（1）得：，

所以：+（），

=，

=，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，對(duì)任意m，n∈N*，不等式恒成立，

即：，

由于：，

故當(dāng)m=1時(shí)，，

所以：，

當(dāng)n=1時(shí)，．

故存在實(shí)數(shù)λ，且．