Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求證：AF⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是正方形，
所以AB∥CD．
又因為AB平面PCD，CD平面PCD，
所以AB∥平面PCD．
又因為A，B，E，F四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．
（Ⅱ）證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
又因為平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF平面PAD
所以CD⊥AF．
由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因為AB∥CD，所以CD∥EF．由點E是棱PC中點，所以點F是棱PD中點．
在△PAD中，因為PA=AD，所以AF⊥PD．
又因為PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．

【解析】（Ⅰ）證明：AB∥平面PCD，即可證明AB∥EF；（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，證明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可證明AF⊥平面PCD；
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．