Question

已知三點A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R．
（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；
（2）O為原點，若四邊形OACB是平行四邊形，且點P（x，y）在其內部及其邊界上，求2y-x的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出

AB

=(t-4，2)，

AC

=(2，t)，

BC

=(6-t，t-2)，再分別討論A，B，C為直角是對應的t的值即可；
（2）先根據其為平行四邊形求出t=2；再結合圖象即可得到2y-x的最小值．

解答：解：（1）由條件，

AB

=(t-4，2)，

AC

=(2，t)，

BC

=(6-t，t-2)，
若直角△ABC中，∠A=90°，則

AB

•

AC

=0，即2（t-4）+2t=0，∴t=2；
若直角△ABC中，∠B=90°，則

AB

•

BC

=0，即（t-4）（6-t）+2（t-2）=0，∴t=6±2

2

；
若直角△ABC中，∠C=90°，則

AC

•

BC

=0，即2（6-t）+t（t-2）=0，無解，
所以，滿足條件的t的值為2或6±2

2

．
（2）若四邊形OABC是平行四邊形，則

OA

=

BC

，
即（4，0）=（6-t，t-2），
∴t=2．
作出平行四邊形OABC區域，
設z=2y-x，則y=

1

2

x+

z

2

，
由圖知，當點P（x，y）與A（4，0）重合時，z取最小值，且最小值為8．

點評：本題主要考察平面向量的綜合問題以及線性規劃的應用．是對知識的綜合考察，屬于中檔題目．