Question

已知．
（１）求的單調區間；
（２）證明：當時，恒成立；
（３）任取兩個不相等的正數，且，若存在使成立，證明：．

Answer 1

見解析

（1）g(x)=lnx+，=        （1’）
當k0時，>0，所以函數g(x)的增區間為（0，+），無減區間；
當k>0時，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區間（k,+）減區間為（0，k）（3’）
(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x="e," 當x變化時，h(x),的變化情況如表

x	1	(1,e)	e	(e,+)
		－	0	+
h(x)	e－2	↘	0	↗

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                   （5’）
設G(x)=lnx-(x1) ==0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x)  G(1)="0," 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當x1時, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx₀+1==∴lnx₀=-1
∴lnx₀–lnx=-1–lnx===(10’)
設H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x₀>x