Question

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律．如圖所示是一個11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第4個數；
（2）若第n行中從左到右第14與第15個數的比為

2

3

，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數為35．顯然，1+3+6+10+15=35．事實上，一般地有這樣的結論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數之和，一定等于第m+1斜列中第k個數．試用含有m，k（m，k∈N^*）的數學公式表示上述結論，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據數陣中數的排列規律，可得第n行的從左到右第m+1個數為Cnm，由此即可算出第20行中從左到右的第4個數的大小；
（2）由（1）的結論，建立關于n的方程并化簡整理，解之可得n=34；
（3）根據題意，所求結論可表示為C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）．再由組合數的性質：C_m^m+C_m^m-1=C_m+1^m，代入等式的左邊進行化簡整理，即可得到該等式成立．

解答：解：（1）由題意，得第n行的從左到右第m+1個數為Cnm，（n∈N，m∈N且m≤n）
∴第20行中從左到右的第4個數為C₂₀³=

20×19×18

3×2×1

=1140；
（2）由題意，得
∵第n行中從左到右第14與第15個數的比為

2

3

，
∴

Cn13

Cn14

=

2

3

，可得

n! 13!•(n-13)!

n! 14!(n-14)!

=

2

3

，
化簡得

14

n-13

=

2

3

，解之得n=34；
（3）結論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數之和，一定等于第m+1斜列中第k個數．
用公式表示為：C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）
證明：左式=C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=C_m^m+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+1^m+C_m+1^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=…=C_m+k-2^m+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m=右式
即等式C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）成立．

點評：本題給出三角形數陣，求它的指定項和在m斜列中包含的等式．著重考查了組合數的性質、運用組合數解決實際應用問題、方程與恒等式的處理與證明等知識，屬于中檔題．