Question

（2011•上海模擬）設

a

，

b

，

c

是平面內互不平行的三個向量，x∈R，有下列命題：
①方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)不可能有兩個不同的實數解；
②方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)有實數解的充要條件是

b

2-4

a

•

c

≥0；
③方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0有唯一的實數解x=-

b

a

；
④方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0沒有實數解．
其中真命題有

①④

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：對于①、②，是關于向量的方程，將方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)變形可得

C

=-x²

a

-x

b

，由向量共線的條件分析①，也不能按照實數方程有解的條件來判斷，對于③、④，是實系數方程，利用一元二次方程的根的判別式和數量積的性質，對題設中的四個選項依次進行判斷，能夠得到結果．

解答：解：對于①：
對方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)變形可得

C

=-x²

a

-x

b

，
由平面向量基本定理分析可得

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)最多有一解，
故①正確；
對于②：
方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)是關于向量的方程，不能按實數方程有解的條件來判斷，
故②正確；
對于③、④，方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0中，
△=4

a

•

b

²-4

a

2•

b

2，
又由

a

、

b

不平行，必有△＜0，
則方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0沒有實數解，
故③不正確而④正確
故答案為：①④．

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，是基礎題．解題時要認真審題，注意一元二次方程的根的判別式和數量積的性質的靈活運用．