Question

已知函數m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
（1）當x＞0時，F（x）=m（x），且F（x）為R上的奇函數．求x＜0時，F（x）的表達式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）為偶函數，求k的值；
（3）對（2）中的函數f（x），設g(x)=log4(2x-1-

4

3

a)，若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用x＞0時，F（x）=log4(4x+1)，F（x）為R上的奇函數，可求得x＜0時，F（x）的表達式；
（2）利用偶函數的定義f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，即可求得k的值；
（3）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點?方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(2x-1-

4

3

a)有且只有一個實根?2^x+

1

2x

=2^x-1-

4

3

a有且只有一個實根，令t=2^x＞0，則方程

1

2

t²+

4

3

at+1=0有且只有一個正根，利用△=0即可求得a的值．

解答：解：（1）∵x＞0時，F（x）=m（x）=log4(4x+1)，
∴當x＜0時，-x＞0，
∴F（-x）=log4(4-x+1)，又F（x）為R上的奇函數，
∴-F（x）=log4(4-x+1)，即F（x）=-log4(4-x+1)…（3分）
（2）∵函數f（x）=m（x）+n（x）=log4(4x+1)+kx為偶函數，
∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，…（5分）
而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-

1

2

…（7分）
（3）∵函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
∴方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(2x-1-

4

3

a)有且只有一個實根，…（8分）
化簡得：方程2^x+

1

2x

=2^x-1-

4

3

a有且只有一個實根，…（9分）
令t=2^x＞0，則方程

1

2

t²+

4

3

at+1=0有且只有一個正根，
①△=0⇒a=-

3 2

4

，
②若一個正根和一個負根，不滿足題意…（11分）
所以實數a的取值范圍為{a|a=-

3 2

4

}…（12分）

點評：本題主要考查了偶函數的性質，以及對數函數圖象與性質的綜合應用，同時考查了化歸與方程的思想的綜合運用，屬于難題．