Question

選修4-1:幾何證明選講
如圖，AB是圓O的直徑，以B為圓心的圓B與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為P.過點(diǎn)A作直線交圓O于點(diǎn)Q,交圓B于點(diǎn)M、N.
(I )求證：QM=QN;
(II)設(shè)圓O的半徑為2,圓B的半徑為1,當(dāng)AM=時(shí)，求MN的長.

Answer 1

（Ⅰ）連結(jié)BM、BN、BQ、BP．
∵B為小圓的圓心，∴BM＝BN，
又∵AB為大圓的直徑，∴BQ⊥MN，
∴QM＝QN．                 …4分
（Ⅱ）∵AB為大圓的直徑，∴∠APB＝90°，
∴AP為圓B的切線，
∴AP²＝AM·AN，            …6分
由已知AB＝4，PB＝1，AP²＝AB²－PB²＝15，
又AM＝，∴15＝×(＋MN)，
∴MN＝

略