Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為 2

3

，左準(zhǔn)線 l與x軸的交點為M，|MA1|：|A1F1|=

3

：1，P為橢圓C上的動點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與 A₁，A₂均不重合，設(shè)直線 PA₁與 PA₂的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若

|OP|

|OM|

=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，由題意能夠?qū)С鯽，b，c，寫出橢圓方程即可；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），分別求出k₁，k₂的表達(dá)式，再求得k₁•k₂為定值即可；
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），先由已知

|OP|2

|OM|2

=λ2及點P在橢圓C上可得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，下面對λ的值進(jìn)行分類討論：①當(dāng)λ=

3

3

時，②當(dāng)λ≠

3

3

時，其中再分成三類：一類是：當(dāng)0＜λ＜

3

3

時，另一類是：當(dāng)

3

3

＜λ＜1時，最后一類是：當(dāng)λ≥1時，分別說明軌跡是什么曲線即得．

解答：解：（Ⅰ）由題得，設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1；
則有

2a=2 3 a2 c -a= 3 (a-c) a2=b2+c2

所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），A(-

3

，0)，B(

3

，0)，則

x 2 0

3

+

y 2 0

2

=1，即

y

2 0

=2-

2

3

x

2 0

，
則k1=

y0

x0+ 3

，k2=

y0

x0- 3

，
即k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -3

=

2- 2 3 x 2 0

x 2 0 -3

=

2 3 (3- x 2 0 )

x 2 0 -3

=-

2

3

，
∴k₁•k₂為定值-

2

3

．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|2

|OM|2

=λ2及點P在橢圓C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=

x2+6

3(x2+y2)

=λ2，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中x∈[-

3

，

3

]．
①當(dāng)λ=

3

3

時，化簡得y²=6，
所以點M的軌跡方程為y=±

6

(-

3

≤x≤

3

)，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當(dāng)λ≠

3

3

時，方程變形為

x2

6 3λ 2-1

+

y2

6 3λ 2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]．
當(dāng)0＜λ＜

3

3

時，M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足x∈[-

3

，

3

]的部分；
當(dāng)

3

3

＜λ＜1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足x∈[-

3

，

3

]的部分；
當(dāng)λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓．

點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．