Question

【題目】如圖是一個路燈的平面設計示意圖，其中曲線段AOB可視為拋物線的一部分，坐標原點O為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為y軸，燈桿BC可視為線段，其所在直線與曲線AOB所在的拋物線相切于點B.已知AB=2分米，直線軸，點C到直線AB的距離為8分米.燈桿BC部分的造價為10元/分米；若頂點O到直線AB的距離為t分米，則曲線段AOB部分的造價為元. 設直線BC的傾斜角為，以上兩部分的總造價為S元.

（1）①求t關于的函數關系式；

②求S關于的函數關系式；

（2）求總造價S的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ① .②.

(2) 元.

【解析】分析：（1）①先設曲線段所在的拋物線的方程為，代入點B可得a的值，然后求出切線BC的斜率,轉化為傾斜角從建立t與的等式關系；②根據t與的關系得出曲線段部分的造價為元，然后求出BC段的造價，故兩段的造價之和；（2）由S的表達式根據導數確定函數的單調性，即可求得最小值.

詳解：

（1）①設曲線段所在的拋物線的方程為，將代入得，故拋物線的方程為，求導得，故切線的斜率為，而直線的傾斜角為，故，t關于的函數關系為.

②因為，所以曲線段部分的造價為元，

因為點到直線的距離為8分米，直線的傾斜角為，故，部分的造價為，

得兩部分的總造價為，.

（2），

，

其中恒成立，令得，設且為銳角，

列表如下：

		0
		極小

故當時有最小值，此時，，，

故總造價S的最小值為元.