Question

【題目】如圖，，，是同一平面內的三條平行直線， 與之間的距離是1，與之間的距離是2，三角形的三個頂點分別在，，上.

（1）若為正三角形，求其邊長；

（2）若是以B為直角頂點的直角三角形，求其面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）2

【解析】

（1）根據題意作高，，.根據等邊三角形及直角三角形的性質，設，則，求出，根據三角形相似根據其相似比可求出，的長，再根據勾股定理即可解答.

（2）過點B作，交于M，交于N，設，，由，得，則，，，由此利用均值不等式能求出面積的最小值.

解：（1）作高，，（如圖），

設，則，

于是，，

∵，

，

∴，

∴，即，∴，

∴，

∵，∴，

∴.

∴的邊長為.

（2）過點B作，交于M，交于N，設，，

則，∴，即，∴，

，，

∵是以B為直角頂點的直角三角形，

∴

當且僅當，即，時，面積取最小值2.