Question

給出以下四個命題：
①函數f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，f′（x）為f（x）的導函數，令a=log₃2，b=

1

2

，則f（a）＜f（b）
②若f(x+2)+

1

f(x)

=0，則函數y=f（x）是以4為周期的周期函數；
③在數列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+2，則數列{a_n}是等比數列；
④函數y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2．
則正確命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：①先求f′（

π

3

）的值，再利用導數判斷函數f（x）的單調性，利用單調性比較大小即可；②利用已知抽象表達式證明f（x+4）=f（x）即可；③利用遞推關系式計算數列的前三項，即可發現此命題錯誤；④利用均值定理求函數最值要注意條件即“一正二定三等號”是否成立

解答：解：①∵f′(x)=cosx+2f′(

π

3

)，∴f′(

π

3

)=cos

π

3

+2 f′(

π

3

)，∴f′（

π

3

）=-

1

2

，
∴f′（x）=cosx-1≤0，∴函數f（x）為R上的減函數，
∵a=log₃2，b=

1

2

=log₃

3

，∴a＞b
∴f（a）＜f（b），①正確
②∵f(x+2)=-

1

f(x)

，∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），∴函數y=f（x）是以4為周期的周期函數；②正確；
③∵a₁=1，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+2，∴a₂=

3

2

，a₃=

3

4

，顯然此數列的前三項不成等比數列，③錯誤；
④y=3^x+3^-x=y=3^x+

1

3x

≥2

3x× 1 3x

=2，（當且僅當3^x=1，即x=0時取等號），故x＜0時，y=3^x+3^-x無最小值為，④錯誤
故答案為①②

點評：本題綜合考查了利用導數判斷函數單調性的方法，利用單調性比較大小的方法，函數周期性得到定義及其證明，數列遞推關系的應用及等比數列的定義，均值定理求最值的方法和條件等知識，有一定難度