Question

某市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者．把符合條件的1000名志愿者按年齡分組：第1組[20,25)、第2組[25,30)、第3組[30,35)、第4組[35,40)、第5組[40,45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)若從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12名志愿者參加廣場的宣傳活動，應從第3、4、5組各抽取多少名志愿者？
(2)在(1)的條件下，該市決定在這12名志愿者中隨機抽取3名志愿者介紹宣傳經驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率；
(3)在(2)的條件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3組的人數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

(1) 人、人、人；(2)；(3)分布列見解析，.

解析試題分析：(1)先求出第、、組的志愿者人數以及三組的志愿者人數的總和，然后利用關系式“(抽取的人數÷三組的總人數)×每組的人數”求解；(2)先求出隨機事件“從名志愿者中抽取名”的總數，然后求出隨機事件“第組至少有一位志愿者被抽中”情況數，所求的概率即為；(3)先找出的所有可能的取值，然后由公式，求出每種取值對應的隨機事件發生的概率，根據的取值與其對應的概率寫出分布列，由公式求隨機事件的數學期望.
試題解析：(1)由題意可知，第組的人數為，
第組的人數為，
第組的人數為，
第、、組共有名志愿者.
所以利用分層抽樣在名志愿者中抽取名志愿者，每組抽取的人數為：
第組：；
第組：；
第組：.
所以第、、組分別抽取人、人、人.                    4分
(2)從名志愿者中抽取名共有種可能，
第組至少有一位志愿者被抽中有種可能，
所以第組至少有一位志愿者被抽中的概率為.             7分
(3)的可能取值為，
，，
，，
所以的分布列為：

的期望為：.                12分
考點：1.分層抽樣；2.離散型隨機變量及其應用；3.古典概型；4.條件概率；5.隨機事件的分布列和數學期望