Question

本小題滿分14分）

向量=,x∈.函數f(x)= -|+|

（1）若函數f(x)的最小值為-，求實數的值，并求出f(x)取最小值-時相應的值.

（2）點O為坐標原點，當f(x)取最小值-時，向量=、向量=、,若點是的重心，線段經過點，并繞點轉動，分別交邊、于點、；設，，  其中，，證明：；

Answer 1

（本小題滿分14分）

向量a=,x∈.函數f(x)=ab-|a+b|

（1）若函數f(x)的最小值為-，求實數的值，并求出f(x)取最小值-時相應的值.

（2）點O為坐標原點，當f(x)取最小值-時，向量a=、向量b=、,若點是的重心，線段經過點，并繞點轉動，分別交邊、于點、；設，，  其中，，證明：；

解  （1）∵|a|=1，|b|=1，x∈，……………… 1分

∴a·b=coscos-sinsin=cos2x，……………… 3 分

|a+b|==……………… 4分

==2=2cosx. ……………… 5 分

∴f（x）=cos2x-cosx=2cos²x-cosx-1

=2--1，cosx∈［0，1］. ……………… 6 分

①當＜0時，取cosx=0,此時f(x)取得最小值，

并且f(x)_min=-1≠-,不合題意. ……………… 7分

②當0≤≤4時，取cosx=,

此時f(x）取得最小值，

并且f(x)_min=--1=-,解得=2. ……………… 8 分

③當＞4時，取cosx=1,此時f(x)取得最小值，

并且f(x)_min=1-=-,

解得=,不符合＞4舍去, ……………… 9分

∴=2且f(x)取最小值-時……………… 10分

由（1）可知A（0，-1）、B、C，易得是邊長為的正三角形, …11分

如圖延長AG交BC與F，G為△ABC的重心F為BC的中點，則有 ……12 分

，，

　即………………………13分

D、G、E三點共線，故  ＝3  ……………………………14分

解析法作答相應給分（解析略）www..com