Question

橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F₁，F₂之間的距離為2，橢圓上第一象限內的點P滿足PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面積為1．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

（1）＋y²＝1    （2）見解析

(1)設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，因為|F₁F₂|＝2，所以c＝，由S△PF₁F₂＝1，得|PF₁||PF₂|＝2，又由PF₁⊥PF₂，得|PF₁|²＋|PF₂|²＝|F₁F₂|²＝12，即(|PF₁|＋|PF₂|)²－2|PF₁||PF₂|＝12，即4a²－4＝12，a²＝4，b²＝a²－3＝1，所以橢圓C的標準方程為＋y²＝1．
(2)由方程組，得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0，
Δ＝(8km)²－4(1＋4k²)(4m²－4)>0，整理得4k²－m²＋1>0．
設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝．
由AM⊥AN且橢圓的右頂點為A(2,0)，得(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝0，
因為y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²，
所以(1＋k²)x₁x₂＋(km－2)(x₁＋x₂)＋m²＋4＝0，
即(1＋k²)·＋(km－2)·＋m²＋4＝0，
整理得：5m²＋16mk＋12k²＝0，
解得m＝－2k或m＝－，均滿足4k²－m²＋1>0．
當m＝－2k時，直線的l方程為y＝kx－2k，過定點(2,0)，與題意矛盾，舍去；
當m＝－時，直線l的方程為y＝k(x－)，過定點(，0)，符合題意．
故直線l過定點，且定點的坐標為(，0)．