Question

【題目】某綜藝頻道舉行某個水上娛樂游戲，如圖，固定在水面上點處的某種設備產生水波圈，水波圈生產秒時的半徑（單位： ）滿足； 是鋪設在水面上的浮橋，浮橋的寬度忽略不計，浮橋兩端固定在水岸邊.游戲規定：當點處剛產生水波圈時，游戲參與者（視為一個點）與此同時從浮橋的端跑向端；若該參與者通過浮橋的過程中，從點處發出的水波圈始終沒能到達此人跑動時的位置，則認定該參與者在這個游戲中過關；否則認定在這個游戲中不過關，已知， ，浮橋的某個橋墩處點到直線的距離分別為，且，若某游戲參與者能以的速度從浮橋端勻速跑到端.

（1）求該游戲參與者從浮橋端跑到端所需的時間？

（2）問該游戲參與者能否在這個游戲中過關？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）設，由，解得或（舍）.求得直線的方程為，與聯立可得，求得AB,進而可得所需時間；

（2）求得時，點坐標為，其中. ， .構造函數 ，求導計算可得時， 恒成立，所以該參與者在這個游戲中過關.

試題解析：（1）建立如圖所示的直角坐標系，則，

直線的方程為.

設，由，解得或.

當時， ，符合；

當時， ，不符合.

所以，直線的方程為.

由解得即.

所以.

所以，該游戲參與者從浮橋端跑到端所需的時間為.

（2）在中， ， .

設時，該參與者位于點，則， .

則時，點坐標為，其中.

， .

令 ，

則

時， 在上為增函數，

時， 在上為減函數，

故當時， 取得最大值.

由于，所以時， 恒成立.

即該游戲參與者通過浮橋的過程中，從點處發出的水波圈始終沒能到達此人跑動時的位置，所以該參與者在這個游戲中過關.

點晴：本題考查的是函數模型的應用。解決函數模型應用的解答題，要注意以下幾點：①讀懂實際背景，將實際問題轉化為函數模型．②對涉及的相關公式，記憶要準確．③在求解的過程中計算要正確.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數最值的方法，才能快速正確地求解．