Question

（2011•嘉定區三模）在三棱錐A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，CD=2

3

，E、F分別是AC和BC的中點．
（1）求三棱錐E-CDF的體積；
（2）求二面角E-DF-C的大小（用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設點E到平面BCD的距離為d，則d=

| n • DE |

| n |

，然后根據錐體的體積公式解之即可．
（2）平面BCD的一個法向量為

n

=(0 ， 0 ， 1)，然后求出平面DEF一個法向量

n

1=(x，y，z)，最后根據設二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，則二面角的余弦值為cosθ=

| n • n 1|

| n || n 1|

，從而求出二面角．

解答：解：（1）以D為原點，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
則D（0，0，0），A（0，0，2），E(0 ， 

3

 ， 1)，…（2分）F(1 ， 

3

 ， 0)，
因為AD⊥平面BCD，所以平面BCD的一個法向量為

n

=(0 ， 0 ， 1)，…（3分）

DE

=(0 ， 

3

 ， 1)，
設點E到平面BCD的距離為d，則d=

| n • DE |

| n |

=1，
即三棱錐E-CDF的高為1，…（4分）
因為點F是BC的中點，所以S_△CDF=S_△BCD，…（5分）
所以三棱錐E-CDE的體積V=

1

3

•S_△CDF=

3

3

．…（7分）
（2）

DE

=(0 ， 

3

 ， 1)，

DF

=(1 ， 

3

 ， 0)，
設平面DEF一個法向量為

n

1=(x，y，z)，則

n

1⊥

DE

，

n

1⊥

DF

，從而

n

1•

DE

=0，

n

1•

DF

=0，即

3 y+z=0 x+ 3 y=0

，…（9分）
取y=-

3

，則x=z=3，

n

1=(3 ， -

3

 ， 3)．…（10分）
設二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，
所以cosθ=

| n • n 1|

| n || n 1|

=

21

7

．…（11分）
因此，二面角E-DF-C的大小為arccos

21

7

．…（12分）

點評：本題主要考查了錐體的體積計算，以及二面角平面角的度量，同時考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問題，屬于中檔題．