Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知橢圓C：，經過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．是否存在k，使對任意m>0，總有成立？若存在，求出所有k的值；

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

橢圓C： 1分

直線AB：y＝k（x－m）,                                           2分

，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．   3分

設A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝ 4分

則x_m＝              6分

若存在k,使為ON的中點，∴．

∴，

即N點坐標為．                              8分

由N點在橢圓上，則       10分

即5k⁴－2k²－3＝0．∴k²＝1或k²＝－（舍）．

故存在k＝±1使                                  12分

 

【解析】略